Proses inilah yang disebut merasionalkan bentuk akar.
Tenang, caranya tidak sesulit yang dibayangkan, asalkan kamu memahami langkah dan konsep dasarnya.
Kali ini kita akan bedah dan kasih bocoran bagaimana cara mudah merasionalkan bentuk akar dengan langkah yang sederhana dan mudah dipahami!
So... simak dan baca semuanya sampai habis.
A. Pentingnya Merasionalkan Bentuk Akar
Merasionalkan bentuk akar bukan sekadar mengubah tampilan sebuah pecahan. Langkah ini membantu kita mendapatkan bentuk yang lebih sederhana, rapi, dan mudah digunakan dalam perhitungan.Dalam matematika, bentuk akar yang masih berada di penyebut biasanya perlu diubah ke bentuk yang lebih sesuai.
Dengan merasionalkan penyebut, kita juga akan lebih mudah melakukan operasi hitung dan menyelesaikan soal-soal yang melibatkan bentuk akar.
Jadi, saat menemukan bentuk akar di penyebut, jangan langsung bingung. Ada cara khusus untuk mengubahnya menjadi bentuk yang lebih sederhana.
Kuncinya adalah memahami langkahnya, bukan sekadar menghafal rumus.
B. Langkah Mudah Merasionalkan Bentuk Akar
Ingat ide dasarnya adalah "bagaimana cara agar akar bagian penyebut bisa hilang, atau dalam hal ini adalah pindah ke bagian pembilang."a. Perkalian Akar Sejenis
Ini adalah langkah yang paling mudah yang bisa kita lakukan.Ketika di bagian penyebut hanya mengandung sebuah akar sederhana maka langkah mudah merasionalkannya adalah dengan mengalikannya dengan akar yang sejenis.
Bentuk akar sejenis artinya adalah bentuk akar yang sama.
Kita akan gunakan sebuah sifat dari eksponen dimana $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$.
Jadi ketika kita bertemu dengan bentuk akar sederhana $\dfrac{a}{\sqrt{b}}$ maka mengalikannya dengan akar yang sama dengan penyebut yaitu $\sqrt{b}$ adalah solusinya. \[ \dfrac{a}{\sqrt{b}} \times \dfrac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}} = \dfrac{a\sqrt{b}}{b} \]
b. Perkalian Akar Sekawan
Tenang, ini tidak rumit kok. Ikutin polanya aja kalau kamu masih binggung.Mengalikan dengan akar sekawan memang tidak sesederhana mengalikan dengan akar sejenis.
Tapi coba pahami bentuk dasarnya.
Akar sekawan sederhana bahkan adalah dua bentuk akar yang tandanya berkebalikan yang satu $(+)$ dan satunya $(-)$.
Idenya adalah dengan mengalikannya dengan akar sekawan maka semua bentuk akar pada penyebut akan hilang. \[ \left( \sqrt{a} + \sqrt{b} \right) \left( \sqrt{a} - \sqrt{b} \right)= a-b \] Jika kamu masih bingung, ikutin pola dan cermati beberapa bentuk akar berikut dan bagaimana cara mudah merasionalkannya :
- $\dfrac{a}{\sqrt{b} + \sqrt{c}} \times \dfrac{ \sqrt{b} - \sqrt{c}}{ \sqrt{b} - \sqrt{c}} = \dfrac{a \left( \sqrt{b} - \sqrt{c} \right)}{b-c}$
- $\dfrac{a}{b + \sqrt{c}} \times \dfrac{ b - \sqrt{c}}{ b - \sqrt{c}} = \dfrac{a \left( b - \sqrt{c} \right)}{b^2-c}$
- $\dfrac{a}{\sqrt{b} + c} \times \dfrac{ \sqrt{b} - c}{ \sqrt{b} - c} = \dfrac{a \left( \sqrt{b} - c \right)}{b-c^2}$
C. Contoh Soal dan Pembahasan Merasionalkan Bentuk Akar
Tidak afdol rasanya kalau tidak kita coba langsung dalam contoh soalnya.
✏️ Soal No. 1
Merasionalkan Akar
Bentuk paling sederhana dari $\dfrac{8}{\sqrt{2}}$ adalah...
✔ Langkah-Langkah Penyelesaian:
$\begin{align}
\dfrac{8}{\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} &= \dfrac{8 \sqrt{2}}{2} \\
&= \dfrac{8}{2} \sqrt{2} \\
&= 4 \sqrt{2}
\end{align}$
✏️ Soal No. 2
Merasionalkan Akar
Bentuk rasional dari $\dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}$ adalah...
✔ Langkah-Langkah Penyelesaian:
$\begin{align}
& \dfrac{3}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{2}}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{3 \left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right)}{5-2} \\
&= \dfrac{3 \left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right)}{3} \\
&= \dfrac{3}{3} \left( \sqrt{5}+\sqrt{2} \right) \\
&= \sqrt{5}+\sqrt{2}
\end{align}$
✏️ Soal No. 3
Merasionalkan Akar
Bentuk rasional dari $\dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}$ adalah...
✔ Langkah-Langkah Penyelesaian:
$\begin{align}
& \dfrac{2}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \times \dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{2 \left( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right)}{5-2} \\
&= \dfrac{2 \left( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right)}{3} \\
&= \dfrac{2}{3} \left( \sqrt{5}-\sqrt{2} \right) \\
\end{align}$
✏️ Soal No. 4
Merasionalkan Akar
Jika $\dfrac{14}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}} = a \sqrt{2} + b \sqrt{6}$ maka nilai dari $2a-b=$...
✔ Langkah-Langkah Penyelesaian:
$\begin{align}
& \dfrac{14}{2\sqrt{2}-\sqrt{6}} \times \dfrac{2\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2\sqrt{2}+\sqrt{6}} \\
&= \dfrac{14 \left( 2\sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}{\left( 2 \sqrt{2} \right)^2 - 6 }
= \dfrac{14 \left( 2\sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}{8 - 6 } \\
&= \dfrac{14 \left( 2\sqrt{2}+\sqrt{6} \right)}{2 }
= \dfrac{14}{2} \left( 2\sqrt{2}+\sqrt{6} \right) \\
&= 7 \left( 2\sqrt{2}+\sqrt{6} \right)
= 14 \sqrt{2}+ 7\sqrt{6}
\end{align}$Dari hasil di atas \( 14 \sqrt{2}+ 7\sqrt{6} = a \sqrt{2}+ b\sqrt{6} \)
Sehingga kita dapatkan $a=14$ dan $b=7$.
Dengan demikian, $2a-b=28-7=21$
✏️ Soal No. 5
Merasionalkan Akar
Sebuah taman berbentuk persegi panjang ditanami rumput hijau yang subur. Taman tersebut mempunyai panjang $\dfrac{3}{\sqrt{8}}$ meter dan lebarnya $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ meter. Luas dari taman tersebut adalah ... meter$^2$
✔ Langkah-Langkah Penyelesaian:
Ingat kembali bahwa luas sebuah persegi panjang dapat kita hitung melalui perkalian antara panjang dan lebarnya.Diketahui dalam soal :
$p = \dfrac{3}{\sqrt{8}}$ dan $l = \dfrac{2}{\sqrt{3}}$
Sehingga,
$\begin{align} L &= p \times l \\ &= \dfrac{3}{\sqrt{8}} \times \dfrac{2}{\sqrt{3}} \\ &= \dfrac{6}{\sqrt{24}} = \dfrac{6}{2 \sqrt{6}} \\ &= \dfrac{3}{\sqrt{6}} \end{align}$
Kita rasionalkan,
$\begin{align} &= \dfrac{3}{\sqrt{6}} \times \dfrac{\sqrt{6}}{\sqrt{6}} \\ &= \dfrac{3 \sqrt{6}}{6} = \dfrac{3}{6} \sqrt{6} \\ &= \dfrac{1}{2} \sqrt{6} \end{align}$
Jadi, luas tamannya adalah $\dfrac{1}{2} \sqrt{6}$ meter$^2$
Kesimpulan
Merasionalkan bentuk akar sebenarnya tidak serumit yang terlihat. Setelah memahami konsep dan langkah-langkahnya, kamu akan lebih mudah menyederhanakan berbagai bentuk akar yang muncul dalam soal matematika.Kalau masih merasa bingung, tidak apa-apa. Coba kerjakan soal secara perlahan, perhatikan setiap langkah, lalu ulangi dengan soal yang berbeda. Semakin sering berlatih, semakin terbiasa kamu menghadapi bentuk akar.
Jadi, jangan berhenti hanya karena satu soal terasa sulit.
Terus belajar, terus mencoba, dan terus berlatih!
Ingat, kemampuan matematika tumbuh sedikit demi sedikit dari latihan yang konsisten. Semangat belajar dan sampai jumpa di soal matematika berikutnya!
🎯 Kotak Latihan Soal & Tryout:
Mau latihan soal lebih banyak tentang Merasionalkan Akar? Coba pengerjaan [Bank Soal Merasionalkan Akar] atau uji kemampuanmu langsung di simulasi [Tryout Online Merasionalkan Akar].